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En julio de este año, Wang Hong y Deng Yu ganaron el Premio Fields en la Conferencia Internacional de Matemáticos de Filadelfia.
Durante esos días en los que las noticias se difundían por todas partes, el empleado de Anthropic, Alek Dimitriev, publicó un comentario en X:
Esta edición de los Premios Fields será la última vez que la humanidad recibe este premio.
Timothy Gowers, ganador de ediciones anteriores, comentó que también tuvo ideas similares.
Sin embargo, este proceso tiene una demora, así que creo que probablemente podrán sobrevivir hasta 2030.
¿Quién podría imaginarlo… Gowers, probablemente estás demasiado optimista.
El 7 de octubre, OpenAI publicó 722 manuscritos matemáticos de una sola vez, y todos los artículos y algunas demostraciones Lean se subieron a Github.
En el grupo con número 074, solo hay dos artículos, que corresponden a la dirección en la que Wang Hong ganó el premio: La conjetura de Hau-Gu.
Un artículo afirma haber demostrado que la conjetura de la función máxima tridimensional de Kakeya es más fuerte que la versión demostrada por Wang Hong y Zahl.
Otra publicación afirma haber demostrado el conjetura del cuarto espacio.
Dos manuscritos en total, 272 páginas, y en la sección del autor solo hay una palabra: OpenAI.
Wang Hong y Joshua Zahl acabaron de resolver la conjetura sobre el número de dimensiones en el espacio tridimensional, y la IA llevó los resultados relacionados a la cuarta dimensión.
¿Acaso… este año, el Premio Fields es realmente la última edición de las matemáticas humanas?
¿Qué hicieron específicamente los dos artículos de Kagura de OpenAI?
En 1917, el matemático japonés Katai Sōji planteó una pregunta: ¿qué área mínima necesita ocupar un agujero de longitud 1 para que una aguja caiga y gire una vuelta completa sobre sí misma en un plano?
△ Diagrama esquemático del problema de Kani
Besicovitch dio una respuesta contraria a lo intuitivo: el área puede ser muy pequeña. Aún más absurdo es que un conjunto pueda contener una aguja de longitud unitaria en todas las direcciones, pero la área sea cero.
El área no es precisa, así que los matemáticos cambiaron la regla y usaron «dimensiones vectoriales» para medirla.
El “dimensiones” aquí no es solo el concepto cotidiano de largo, ancho y alto. Para este tipo de conjunto de forma extremadamente irregular, los matemáticos utilizan herramientas como la dimensión de Hausdorff y la dimensión de Minkowski para medir cuán complejo es en diferentes escalas.
El volumen de un conjunto puede ser 0, pero aún puede tener un número completo de dimensiones espaciales.
La conjetura de Kato se refiere a que, en un espacio de n dimensiones, siempre que un conjunto pueda contener una línea unitaria en cada dirección, su dimensión debe ser completa, es decir, n dimensiones.
La dificultad radica en cómo se entrelazan y se superponen esas líneas de segmento que parecen muy finas, y si después de la superposición es posible reducir aún más el conjunto.
△ Diagrama esquemático del problema de Kani
La situación plana fue demostrada por Davies en 1971; la situación tridimensional duró medio siglo, hasta que en febrero de 2025 fue ganada por Wang Hong y Joshua Zahl.
Cuatro dimensiones o más, hasta ahora no se ha obtenido ninguna prueba.
Las dos manuscritos públicos de OpenAI que se han divulgado esta vez abordan dos versiones del problema de Kataoka.
Primera parte: Conjetura sobre la función máxima tridimensional de Kullback-Levinson
Sigue siendo tridimensional, pero el problema se ha cambiado a una versión más difícil.
Se puede considerar esto como un problema de «control de superposición de tubos»: colocar muchos tubos delgados y largos en espacio tridimensional, donde cada tubo representa una dirección de la aguja.
△ Página principal del artículo sobre la conjetura de la función tridimensional de Huge Tietze, publicado por OpenAI
Lo que los matemáticos deben estudiar es hasta qué punto pueden superponerse estas tuberías cuando apuntan en direcciones diferentes, y si es posible utilizar una estimación unificada para controlar esa superposición.
Wang Hong y Zahl demostraron una «versión de conjunto», y estudian qué espacio ocupa al menos el montón de agujas juntas.
Y la versión de “función máxima” demostrada por OpenAI se ha estudiado con mayor detalle:
Elige cada aguja y hazla más gruesa como un tubo delgado; supongamos que solo una parte de cada tubo es “sólida”, y la proporción se denota como λ. Si todas las partes sólidas se unen, ¿se puede asegurar que el volumen no sea menor que λ³?
Cuanto menor sea λ, más vacío será el tubo y más difícil será controlarlo. La versión colectiva solo necesita una potencia de λ relativamente amplia; en cambio, la versión de función máxima exige que esa potencia sea exactamente 3.
Esto también se especifica en la introducción del artículo de OpenAI: el teorema de Wang Hong y Zahl proporciona la potencia de λ elevada a K(ε), y la “necesidad de cambiar a λ³” ya se ha planteado claramente después de su teorema.
Es decir, este es el siguiente paso dejado por Wang Hong y Zahl. Y el artículo de 97 páginas de OpenAI afirma haber resuelto este paso.
¿Por qué es importante esto? Porque la función de hagurai máximo convierte “cómo se juntan los tubos finos en diferentes direcciones” en un problema de análisis calculable.
Está relacionado con algunas conjeturas clave en el análisis de Fourier, y durante mucho tiempo se ha considerado una herramienta importante para comprender los fenómenos de onda, frecuencia y concentración espacial.
En 1971, Fefferman utilizó la construcción de conjuntos de Kantorovich para demostrar que los productos esféricos de alta dimensión no tienen límite fuera de L². Desde entonces, el problema de Kantorovich se ha relacionado estrechamente con la conjetura de restricción de Fourier y la conjetura de Bochner-Riesz.
Segunda parte: El número de Hausdorff de la colección Hausdorff de dimensiones cuádruples
En cuanto al cuatidimensional, el progreso de los humanos hasta ahora es así:
En 1995, Wolff demostró que el número de vértices era al menos 3 utilizando el método del “pincel de cabello”.
Más tarde, Guth y Zahl utilizaron un método polinómico para llegar a 3+1/40, aproximadamente 3.025.
En 2019, Katz y Zahl lograron llegar a 3.059 con el “pincel plano”.
Los avances posteriores, básicamente, se desplazan en la segunda y tercera posición después del punto decimal.
Y el artículo de 175 páginas de OpenAI afirma demostrar directamente 4.
△ Página principal del artículo de OpenAI sobre la conjetura del número de Hausdorff en cuatro dimensiones
¿En qué consiste la dificultad en el cuatro-dimensional? Guth señala en su resumen que el teorema clave en las demostraciones tridimensionales de Wang Hong y Zahl no funciona cuando se traslada al cuatro-dimensional.
Porque en el espacio de alta dimensión, los tubos pueden agruparse cerca de superficies algebrísticas de bajo grado, formando estructuras que no existen en el espacio tridimensional.
Y la herramienta central del artículo de OpenAI en cuatro dimensiones se enfoca en este problema: utilizar una polinomia cuadrática para hacer una adaptación local en diferentes escalas, y rastrear esas líneas que se agrupan continuamente entre escalas.
En todo el texto, la palabra «polinomial» aparece 213 veces.
También hay un detalle: uno de los datos clave del artículo en cuatro dimensiones es un teorema citado en el artículo de OpenAI en tres dimensiones. Es como si dos artículos formaran una cadena; la versión más avanzada en tres dimensiones prepara el camino para el cuatro dimensiones.
Por lo tanto, también se puede decir que avanzó un gran paso en los logros de Wang Hong. En el plano tridimensional, reforzó su teorema en la versión de función máxima; en el plano cuatridimensional, resolvió directamente un problema que se quedaba en 3 punto algo, llevándolo al 4.
Pero este artículo sigue teniendo límites; el cuatro-dimensional solo ha demostrado la versión del número de Hausdorff, sin resolver la conjetura sobre la función máxima en cuatro dimensiones; tampoco se ha demostrado completamente en cinco dimensiones o más, y el artículo solo proporciona un límite inferior mediante proyección.
Además, cabe destacar que los resultados del grupo 074 no están formalesizados en formato Lean, ni han sido sometidos a revisión por pares.
OpenAI escribió en el README: algunos resultados no formalizados «podrían tener problemas».
¿Qué hizo Wang Hong?
Algunas personas dicen que Wang Hong ganó el Premio Fields antes de la IA, lo cual puede considerarse una suerte.
¿Es realmente así?
Al leer los textos completos de estas dos publicaciones de OpenAI, uno de los nombres que aparece más veces es Wang Hong.
Solo en el artículo de tres dimensiones, la palabra “Wang” aparece 23 veces.
El monte Hanggu por tres dimensiones, los matemáticos humanos han estado escalando durante muchos años.
Katz, Łaba y Tao descubrieron muy temprano que las configuraciones de tubos cercanas a los extremos presentan tres estructuras: adherencia, planicidad y granularidad.
Pero en décadas, nadie pudo convertirlas en una prueba completa.
Wang Hong y Zahl tomaron tres pasos:
En 2022, se demostró el caso de la colección de “adhesión” de Kagura, y posteriormente se publicó en la revista de la Sociedad Matemática Estadounidense.
En 2024, se obtuvo la versión de dimensiones de Assouad.
En febrero de 2025, se publicó una prueba completa de 127 páginas que resuelve la conjetura de Hausdorff y los números de dimensión de Minkowski para el conjunto tridimensional de Hauzendorf.
△ Artículo de Wang Hong y Joshua Zahl sobre la conjetura del conjunto de cadenas en tres dimensiones
Nets Katz comentó que es “un resultado que ocurre una vez cada cien años”.
En el mismo período, Wang Hong también resolvió con Ren Kang la conjetura de Furstenberg en el plano, que es también un problema antiguo en análisis adaptativo.
Estos trabajos ahora son la base de los artículos de OpenAI.
El artículo tridimensional utiliza directamente las demostraciones simplificadas de Guth, Wang Hong y Zahl; Guth es el tutor de Wang Hong durante su doctorado en MIT; también se utiliza la estimación de Furstenberg plana de Ren Kang y Wang Hong.
En el artículo de cuatro dimensiones se utiliza el teorema del producto escalar de Wang Hong y Zahl.
Si finalmente se confirma que ambos artículos son válidos, también se añaden dos capas sobre el marco que Wang Hong preparó.
Además, la actitud de Wang Hong hacia la IA no es rechazo.
En una entrevista después de ganar el premio, la describió como un “impulso activo” en la investigación matemática, y sostuvo que plantear preguntas, crear conceptos y construir teorías sigue siendo la tarea principal de los matemáticos.
En el mundo de las matemáticas humanas, ya ha estallado...
Ahora, probablemente es el “otoño crítico de la existencia” de las matemáticas humanas.
El ciclo de vida de un importante resultado matemático en el pasado es aproximadamente: una persona o un pequeño equipo lo desarrolla durante varios años, lo publica en arXiv, los colegas lo revisan durante un año o dos, y la comunidad académica lo procesa gradualmente.
Cuando se aclaren todas las conclusiones, dentro de unos años, los premios serán finalmente fijados.
Wang Hong y Zahl tardaron casi cuatro años en recorrer este camino, desde la situación tenaz de 2022 hasta el Premio Fields de 2026.
Y esta vez, OpenAI publicó 722 manuscritos matemáticos en una sola noche; en promedio, cada resultado requirió aproximadamente tres horas de capacidad de pensamiento de ChatGPT Pro, y solo alrededor del 42% de los resultados se presentaron en forma formalizada Lean.
Es como una provocación…
Tao Zhexuan ha liderado a la Asociación de Matemáticas Humanas (AHM) para emitir una declaración conjunta importante, en la que se rechaza completamente a OpenAI.
El lenguaje utilizado es bastante serio:
Los matemáticos no exigieron que se realizara este trabajo. La publicación simultánea de más de 700 archivos no refleja la ciencia, sino el poder.
La declaración final insta enérgicamente a todos los matemáticos que dejen de colaborar con OpenAI y regresen a la visión científica centrada en la comprensión humana.
Taotie Xuan siempre ha sido un usuario activo de la investigación auxiliada por IA; lo que se opone es a tratar la resolución masiva de problemas famosos como una exhibición de productos.
En su opinión, cuando una pregunta es resuelta por la IA, no puede volver a estar sin resolver. Los nuevos métodos y nuevas interpretaciones que los matemáticos humanos podrían haber desarrollado para esa pregunta también se cortan.
Y ahora, la revisión se ha convertido en el mayor obstáculo.
Una prueba de cuatro dimensiones de 175 páginas: en todo el mundo hay pocos personas que puedan leerla seriamente. Quién la leerá, ¿cuánto tiempo tomará y quién será el responsable del trabajo: todas estas respuestas son inciertas.
La firma y la atribución también comienzan a volverse confusas. Los académicos que estudian el mismo problema podrían despertarse un día y descubrir que los temas que han trabajado durante varios años han sido «afirmados» resueltos por un modelo.
Esas pruebas generadas por IA, si son correctas o no, aún no se sabe, pero elegir temas es ya muy difícil.
Por supuesto, también hay personas que se sienten emocionadas.
Por ejemplo, Daniel Litt, profesor asistente de matemáticas en la Universidad de Toronto, cree que los matemáticos tendrán mucho trabajo emocionante por hacer en el futuro.
Yann LeCun también cree que al contrario, las matemáticas están entrando en una nueva era.
La demostración formal se automatizará en gran medida, y el enfoque se dirigirá hacia el desarrollo de nuevos conceptos, nuevas abstracciones, nuevas definiciones y nuevas conjeturas.
La invención del barco redujo la importancia de la natación, pero nos permitió descubrir el Nuevo Mundo.
La comunidad matemática se encuentra en un punto de colisión violenta entre el orden antiguo y el nuevo; los métodos de investigación tradicionales son afectados, y la nueva trayectoria aún no se ha formado.
¿Hacia dónde se dirigirá el futuro, todavía no hay respuesta. Pero preferimos creer: junto al barco hundido pasan miles de velas; frente al árbol enfermo, mil árboles florecen.
Gowers dijo que los seres humanos probablemente podrán sobrevivir hasta 2030, y la próxima edición de los Premios Fields se celebrará exactamente en 2030.
Para ese momento, ¿tendrá alguien humano que suba al podio para recibir un premio?