雨を聞く 発信元：凹非寺
量子位 | 公式アカウント QbitAI
今年7月、王虹と邓煜はフィラデルフィア国際数学者大会でフィールズ賞を受賞した。
メッセージが一面に広がった数日間、Anthropicの従業員であるAlek DimitrievがXで次のような投稿をした：
この度のフィールズ賞は、人類にとって最後の受賞となるでしょう。
前回の受賞者であるティモシー・ガワーズがコメントで、自分も似たような考えを持っていたと述べています。
しかし、このプロセスには遅れがありますので、おそらく2030年まで持ちこたえることができるでしょう。
誰が想像できるだろう…Gowers、あなたはまだ楽観しているかもしれない。
10月7日、OpenAIは一気に722篇の数学論文を公開し、論文と一部のLean証明がすべてGithubにアップロードされました。
番号074のグループには2つの論文しかなく、それは王虹が受賞した分野、掛谷の猜想です。
3次のカガ谷極大関数の予想を証明した論文があり、これは王虹とZahlが証明したバージョンよりも強いものである。
別の論文では、四次次元のガタゴビ仮説が証明されたと主張されている。
2つの手稿を合わせると272ページで、著者欄には1つの単語だけが記載されている：OpenAI。
王虹とJoshua Zahlが3次元の掛谷集維数の疑問を解決した後、AIは関連結果を4次元にまで推し進めた。
もしかして…今年のフィールズ賞は、人類の数学の最後の年なのでしょうか？
OpenAIの二つの掲載論文で、具体的に何をしたのか？
1917年、日本の数学者かが谷宗一は次のような問題を提起した。平面上で長さ1の針が一周回るとき、最小限必要な面積はどれくらいか？
△掛谷問題の図示図
ベシコヴィッチは逆の感覚的な答えを出した：面積は任意に小さくなることができる。さらに奇妙なことに、ある集合には各方向に1単位長の針を一本ずつ入れることができても、面積はゼロになる。
面積が正確でないため、数学者は別の尺度を使い、「維数」で測定するようにした。
ここでの「維数」とは、長さ、幅、高さといった日常的な概念だけではない。このような非常に不規則な形状の集合に対しては、数学者たちはハウスドルフ維数やミンコフスキー維数などの手法を用いて、さまざまな尺度でどれほど複雑かを測定する。
集合の体積は0になり得るが、それでも完全な空間次元を持つ可能性がある。
掛谷の仮説とは、n次元空間において、ある集合が各方向に1単位の線分を収容できる場合、その次元は満たされたn次元でなければならないということです。
難点は、これらの細い線分がどのように交差し、重なり、そして重なり後に集合をさらに小さくすることができるかということです。
△掛谷問題の図示図
平面状況は1971年にデイヴィスによって証明されました。三次元状況は半世紀間続き、2025年2月に王虹とジョシュア・ザールが解決しました。
4次元以上であり、今までに証明された例はない。
OpenAIが今回公開した2つの手稿では、掛谷問題の2つのバージョンがそれぞれ扱われている。
第一篇：三次元掛谷極大関数の仮説
依然として3Dですが、問題はより難しいバージョンに変わりました。
まず、これを「管の重なり制御」の問題と考えることができます。多くの細長い管を3次元空間に配置し、各管が針の一つの方向を表します。
△OpenAIが公開した3次元カグタナ極大関数の仮説に関する論文の第一ページ
数学者が研究すべきのは、これらの管がそれぞれ異なる方向に向いたとき、どの程度重なり得るか、そして一つの統一された推定でその重なりを制御できるかどうかである。
王虹とZahlが証明したのは「集合版」であり、これらの針が積み重なったときに少なくともどれくらいの面積を占えるかについて研究している。
そしてOpenAIが証明した「最大関数版」は、より詳細に研究されている：
各針を細い管に強化する。各管のうち一部だけが「実心」であると仮定し、その比率をλとする。すべての実心部分を一緒にした場合、体積がλ³のレベル以上であることを保証できるか？
λが小さいほど、チューブは空間が広くなり、制御が難しくなります。集合版では、比較的緩やかなλのべき乗だけで十分ですが、極大関数版ではそのべき乗がちょうど3である必要があります。
この点はOpenAIの論文の序文でも明確に書かれている：王虹とZahlの定理ではλのK(ε)乗が示されており、「λ³に変える必要」は彼らの定理の後で既に明確に述べられている。
つまり、これは王虹とZahlが残した次のステップです。そして、OpenAIの97ページに及ぶ論文では、このステップを解決したと主張しています。
これはなぜ重要か？それは、かけやま極大関数が「さまざまな方向の細管がどのように集まるか」を計算可能な分析問題に変えるからである。
それはフーリエ解析のいくつかの重要な仮説と関連しており、波、周波数、空間集中現象を理解するための重要なツールと長い間考えられてきました。
1971年、フェファーマンは掛谷集合を用いて反例を構築し、高次元の球積和はL²以外では有界ではないことを証明した。その後、掛谷問題はフーリエ制限の仮説やボッホン＝リエスの仮説と密接に結びつくようになった。
第二篇：四次連谷集のハウスドルフの次元
四維の方で、人類のこれまでの進捗はこのようになっています：
1995年、Wolffは「発刷」法を用いて、維数が少なくとも3であることを証明した。
その後、GuthとZahlは多項式法を用いて3+1/40まで求め、約3.025であった。
2019年、KatzとZahlは「平面刷」を用いて3.059を推した；
その後の進展は、基本的に小数点の後ろの2番目と3番目の位置に移動した。
OpenAIのこの175ページに及ぶ論文では、直接的に4を証明すると主張している。
△OpenAIが公開した4次元ハウスドルフ維数の疑問に関する論文のホームページ
四次元の難しさは何か？Guthが総説で指摘したように、王虹とZahlの三次元証明における重要な定理は、四次元に移動すると成立しなくなる。
高次空間において、管が低次代数曲面の近くに集まって、三次元には存在しない反例構造を形成することができる。
そしてOpenAIの4次元論文の核心的なツールは、この問題に焦点を当てている：二次多項式を用いて異なるスケールで局所フィットを行い、スケール間で持続的に集まる線を追跡する。
全文の中で、「polynomial」という言葉が213回出現しています。
もう一つの詳細があります。四次元論文の重要な入力の一つは、三次元のOpenAI論文に含まれる定理を引用しているのです。二つの論文が一つの連絡線となり、三次元のより強力なバージョンが四次元への道を開いているのです。
したがって、それは王虹の成果を大きく前進させたとも言えます。3次元では彼女の定理を極端な関数版に強化し、4次元では3点付近で困難だった問題を直接4に推し進めました。
しかし、この論文にはまだ限界があります。4次元についてはHausdorff維数のバージョンのみが証明されており、4次元の極大関数の疑問は解決されていません。5次元以上についても完全に証明されておらず、論文では投影を用いて下界のみを示しているだけです。
また、注目すべきは、074号の結果がLean形式化されておらず、同業者による査読も行われていないことです。
OpenAIはREADMEで次のように書かれています：形式的にまとめられていない一部の結果には「問題がある可能性がある」と。
王虹は何をしたのか？
ある人は、王虹がAIより前にフィルズ賞を獲得したのは幸運だと言っています。
本当にそうなのか？
OpenAIのこれら2つの論文の全文を開くと、最も多く登場する名前の一つが王虹です。
3Dの記事では、「Wang」が23回出現しています。
三次目の掛谷という山頂は、人類の数学者たちが長年にわたって登攀してきました。
カッツ、ルバ、タオは、ほぼ極端な管構造が3つの構造、すなわち粘着性、平面性、粒子性を示すことを早くから発見した。
しかし数十年の間、誰もそれらを完全な証明としてまとめることができなかった。
王虹とZahlは3段階で進んだ：
2022年、「粘着性」のタケガ谷集合の例が先駆的に報告され、その後『アメリカ数学会誌』に掲載された。
2024年、Assouadのビット数版を獲得した。
2025年2月、127ページに及ぶ完全な証明が公開され、3次元の掛谷集合の仮説に関するハウスドルフ維数とミンコフスキー維数のバージョンが解決された。
△王虹とJoshua Zahlの、3次元掛谷集の仮説に関する論文
ネッツ・カッツは、「これは百年に一度の出来事だ」と評した。
同じ時期に、王虹は任康とともに平面上のFurstenberg集合の疑問を解決しました。これも調和解析における古い問題です。
これらの作業は、今ではOpenAIの論文の基礎となっている。
3次元論文では、Guth、王虹、Zahlの3人による簡略化された証明が直接参照されている。Guthは、王虹がMITで博士課程を修める際の指導教官である。また、任康と王虹の平面Furstenberg推定も使用されている。
四次元論文では、王虹とZahlの点積定理が使用されている。
もし二つの論文が最終的に確認されるなら、それらも王虹が作った枠組みの上に、さらに二層を加えたものになる。
また、王虹はAIに対して排斥的な態度を取っていない。
受賞後に行われたインタビューで、彼女はAIを数学研究の「能動的な推進力」と表現し、問題を提起したり、概念を創造したり、理論を構築したりすることは、依然として数学者にとっての核心的な仕事であると考えました。
人類の数学界は、もう破壊された...
現在、おそらく人類の数学の「危機的状況の秋」になっている。
過去の重要な数学結果のライフサイクルは、おおよそ次のようなものです。一人または小さなチームが数年かけて作成し、arXivに掲載されると、同業者が1～2年かけて査読を行い、学界が徐々に受け入れるというものです。
等の結論が明らかになり、数年後でなければ、賞品は最終的に決定されない。
王虹とZahlがこの道を歩むのに、2022年の粘着性な状況から2026年のフィルズ賞まで、ほぼ4年かかった。
そしてOpenAIはこの度、一晩で722篇の数学原稿を公開しました。平均して各結果には約3時間のChatGPT Proの思考計算能力が必要で、結果のうち約42％がLean形式化されたものでした。
まるで挑発のようだ……
陶哲轩は、人類数学協会（AHM）の主導で重要な共同声明を発表し、OpenAIに全面的に抵抗している。
その言葉遣いはかなり厳しい：
数学者たちは、このような作業を求めていなかった。700以上のファイルを一度に公開したのは、学問ではなく権力を示すためだった。
声明は最後に、すべての数学者に対してOpenAIとの協力をやめ、人間の理解を中心とした科学のビジョンに戻るよう強く促している。
陶哲轩自身は常にAIを利用した研究の積極的な利用者であり、有名な難問を一括で解決することを製品として示すことには反対している。
彼にとって、一つの問題がAIによって解かれると、もはや未解決の状態に戻ることはできない。人間の数学者が元々この問題で開発しようとした新しい方法や新しい理解も、それもまた途切れてしまう。
また、今では、査読が最大の障害となっている。
175ページの四次元の証明によると、世界で真剣に理解できる人はほんの数人だ。誰が読み、どれくらいの時間をかけ、誰の作業量になるか、その答えは全くわからない。
署名と帰属も混乱し始めています。同じ問題を研究している学者は、目覚めると、数年間かけて解明してきた問題があるモデルによって「解決された」と主張されていることに気づくかもしれません。
これらのAI生成の証明が正しいかどうかはまだ誰も知らないが、テーマ選びはもうさらに難しくなっている。
もちろん、興奮する人もいる。
例えば、トロント大学の数学助教授ダニエル・リットは、数学者たちには今後、多くの刺激的な仕事があると考えています。
ヤン・ルーカンも、まさに逆で、数学は新しい時代を迎えていると考えている。
形式証明は大幅に自動化されることになり、焦点は新しい概念、新しい抽象、新しい定義、新しい仮説の開発に移ることになる。
船の発明は泳ぐことの重要性を低下させたが、私たちに新大陸を発見させた。
数学界は、古い秩序と新しい秩序が激しく衝突する局面にあり、古い研究方法は影響を受け、新しい方向性もまだ形成されていない。
未来がどこへ向かうか、今のところ答えはない。しかし私たちはこう信じたい：沈んだ船のそばを千艘の船が通り過ぎ、病んだ木の前を万本の木が春を迎える。
ゴワースは、人類はおそらく2030年まで生き延びることができると言った。そして次回のフィールズ賞は、ちょうど2030年に授与されることになる。
その時まで、まだ人間が受賞台に立つのでしょうか？