비 소리를 듣다 | 압비사에서
양자비 | 공식 계정 QbitAI
올해 7월, 왕홍과 덩유는 필라델피아 국제수학자 회의에서 필즈상을 수상했습니다.
메시지가 계속 뜨는 그 며칠 동안, Anthropic 직원 Alek Dimitriev은 X에서 한 마디를 게시했습니다:
이번 필즈상은 인류가 마지막으로 이 상을 받는 순간이 될 것입니다.
지난 수상자인 티모시 고워스는 댓글을 남기며 자신도 비슷한 생각을 했다고 말했습니다.
하지만 이 과정에는 지연이 있으므로, 그들은 아마도 2030년까지 버틸 수 있을 것 같습니다.
누가 생각했을까… 고와르스는 아직 낙관적일지도 모른다.
10월 7일, OpenAI는 722편의 수학 원고를 한꺼번에 공개했으며, 논문과 일부 Lean 증명들이 모두 Github에 업로드되었습니다.
그 중 074번호 그룹에는 두 편의 글이 있는데, 이는 왕홍이 상을 받은 분야와 일치합니다.하쿠타이 추측。
3차 구가극대 함수 추측을 증명했다고 주장하는 논문이, 왕홍과 자할이 증명한 버전보다 더 강력하다고 합니다.
또 다른 논문에서는 4차원 하우젠슈 추측을 증명했다고 주장한다.
두 사본을 합하면 272페이지이며, 저자란에는 단 하나의 단어만 적혀 있다: OpenAI.
왕홍과 조슈아 잘은 3차원 가쥐집 차원수 추측 문제를 해결했고, AI는 관련 결과를 4차원으로 확장했다.
혹시… 올해의 필즈상은 정말 인류 수학의 마지막 대회인가요?
OpenAI의 두 개의 하가지 논문은 구체적으로 무엇을 했나요?
1917년, 일본 수학자 가타나미 모토시는 다음과 같은 문제를 제기했습니다: 평면 위에서 길이가 1인 바늘을 한 바퀴 회전시키는 데 최소한 얼마나 큰 면적이 필요할까요?
△하쿠타 문제의 시각화도
베시코비치는 직관과 반대되는 답을 제시했습니다: 면적은 아무리 작아도 괜찮습니다. 더 기이한 것은, 어떤 집합은 모든 방향으로 단위 길이의 바늘을 하나씩 넣어도 면적은 zero가 됩니다.
면적이 정확하지 않으므로 수학자들은 다른 칼을 사용하여 ‘벡터의 차수’로 측정한다.
이곳의 '차원수'는 길이, 너비, 높이와 같은 일상적인 개념에 불과하지 않습니다. 이러한 매우 불규칙한 형태의 집합에 대해 수학자들은 하우스도르프 차원수, 민코프스키 차원수와 같은 도구를 사용하여 다양한 규모에서 얼마나 복잡한지 측정합니다.
집합의 부피는 0이 될 수 있지만, 여전히 완전한 공간 차원을 가질 수 있다.
하가 추측은 이렇습니다: n차 공간에서 어떤 집합이 각 방향에 단위 선분을 하나씩 담을 수 있다면, 그 차원의 수는 반드시 완전한 n차가 되어야 합니다.
문제는, 보기에는 매우 가는 선분들이 어떻게 교차하고 겹치며, 겹친 후에도 집합을 더 작게 만들 수 있는지입니다.
△하쿠타 문제의 시각화도
평면 상황은 1971년에 데이비스에 의해 증명되었으며; 3차원 상황은 반세기 동안 지속되다가 2025년 2월에 왕홍과 조슈아 잘이 이를 해결했습니다.
4차원 이상에서는 아직 어떠한 증명도 나오지 않았습니다.
OpenAI가 이번에 공개한 두 개의 원고는 카타야 문제의 두 가지 버전을 다루고 있습니다.
제1편: 3차원 하가야 거대함수 추측
여전히 3차원이지만, 문제는 더 어려운 버전으로 바뀌었습니다.
먼저 이것을 “관의 겹침 제어” 문제로 생각할 수 있습니다: 여러 개의 가늘고 긴 관들을 3차원 공간에 배치하고, 각 관은 바늘의 한 방향을 나타냅니다.
△OpenAI가 공개한 3차원 하지쿠라 대수함수 추측 논문의 첫 페이지
수학자들이 연구해야 할 것은, 이러한 튜브들이 각기 다른 방향으로 배열될 때 얼마나 겹칠 수 있는지, 그리고 이러한 겹침을 하나의 통일된 추정으로 제어할 수 있는지입니다.
왕홍과 자흘이 증명한 것은 ‘집합 버전’이며, 이 바늘들이 모여서 차지하는 공간이 최소 얼마나 되는지에 대해 연구하고 있다.
그리고 OpenAI가 증명한 '최대 함수 버전'은 더욱 세심하게 연구되었다:
각 바늘을 가는 튜브처럼 두껍게 만든다고 가정할 때, 각 튜브 안에 '실린더'인 부분이 일부만 있다고 하면 비율은 λ로 표기됩니다. 모든 실린더 부분을 모으면, 그 부피가 λ³의 수준 이상으로 보장될 수 있을까요?
λ가 작을수록 관이 더 비어서 제어하기 어렵다. 집합 버전에서는 다소 넓은 λ의 거듭제곱만으로 충분하며, 극대 함수 버전에서는 이 거듭제곱이 정확히 3이어야 한다.
이 점은 OpenAI 논문의 서론에서도 명확히 설명되어 있습니다: 왕홍과 자힐의 정리에서는 λ의 K(ε)제곱을 제시하며, 「λ³로 바꾸는 필요성」은 그들의 정리 이후에 이미 명확하게 제기되었습니다.
즉, 이는 왕홍과 자알이 남긴 다음 단계입니다. 그리고 OpenAI의 97페이지짜리 논문은 이 단계를 해결했다고 주장합니다.
이것이 왜 중요한가요? 왜냐하면 하가타이 거대 함수는 “여러 방향의 얇은 관들이 어떻게 서로 붙어 있는지”를 계산 가능한 분석 문제로 변환하기 때문입니다.
이는 푸리에 분석의 몇 가지 핵심 추측과 관련이 있으며, 파동, 주파수 및 공간 집중 현상을 이해하는 중요한 도구로도 오랫동안 여겨져 왔습니다.
1971년, Fefferman은 하가야 집합을 사용하여 반례를 제시함으로써 고차원 볼-곱자체는 L² 외에는 무한대가 되지 않는다는 것을 증명했습니다. 그 이후로 하가야 문제는 포아벤 제한 가설과 Bochner-Riesz 가설과 밀접하게 연결되었습니다.
두 번째 글: 사면하우스도프 차원 집합의 하우스도프 차수
4차원 측에서, 인류의 이전 진척은 다음과 같습니다:
1995년, Wolff은 '발브러시' 방법을 사용하여 최소 3의 차원을 증명했습니다.
그 후 구트와 자일은 다항식 방법으로 3+1/40까지 계산했으며, 이는 약 3.025입니다.
2019년, 카츠와 자흘은 '평면 브러시'를 사용하여 3.059를 얻었습니다.
그 이후의 진행은 대체로 소수점 뒤 두 번째와 세 번째 자리에서 이동했습니다.
그리고 OpenAI의 이 175페이지짜리 논문은 4에 직접적으로 증명된다고 주장한다.
△OpenAI가 공개한 4차원 하우스도프 지수 추측 논문의 첫 페이지
4차원에서의 어려움은 무엇인가? 구트는 리뷰에서 왕홍과 잘의 3차원 증명에 있는 핵심 정리가 4차원에서는 성립하지 않는다고 지적했다.
고차원 공간에서, 관들은 낮은 차수의 대수 곡면 근처에 모여서, 3차원에서는 존재하지 않는 구조를 형성할 수 있다.
그리고 OpenAI의 4차원 논문의 핵심 도구는 이 문제를 해결하기 위해 설계되었습니다. 이는 다항곡선을 서로 다른 스케일에서 부분적으로 적합시키고, 스케일 간에 지속적으로 모여드는 선들을 추적하는 방식입니다.
전체 텍스트에서 “다항식”이라는 단어가 213번 등장했습니다.
또 다른 세부 사항으로, 4차원 논문의 핵심 입력 중 하나는 3차원의 OpenAI 논문에 있는 한 정리를 인용하고 있습니다. 이는 두 논문이 하나의 연결고리와 같으며, 3차원의 더 강한 버전이 4차원으로 가는 길을 마련해 준다는 의미입니다.
따라서 이는 왕홍의 성과를 한 걸음 앞으로 나아가게 했다고도 할 수 있다. 3차원에서는 그녀의 정리를 매우 강한 함수 버전으로 확장했으며, 4차원에서는 3점 몇 점에 고착된 문제를 직접 4로 확장했다.
하지만 이 논문은 여전히 한계가 있습니다. 4차원에서는 하우스도프스키 차원수 버전만 증명했을 뿐, 4차원의 극대 함수 추측은 해결되지 않았습니다. 5차원 이상의 경우도 아직 완전히 증명되지 않았으며, 논문에서는 프로젝트를 이용해 하한값만 제시했습니다.
또한 주목할 점은 074번 결과가 Lean 형식화되지 않았으며, 동료 검토도 거치지 않았다는 것입니다.
OpenAI는 README에 다음과 같이 썼습니다: 형식화되지 않은 일부 결과는 «문제가 있을 수 있다».
왕홍은 무엇을 했나요?
어떤 사람들은 왕홍이 AI보다 먼저 필즈상을 받은 것이 운이 좋다고 말한다.
정말 그런 건가요?
OpenAI의 이 두 편의 논문 전체를 열어보면, 가장 많이 등장하는 이름 중 하나가 왕홍입니다.
3차원에 관한 그 글에서 「Wang」는 23번 등장했습니다.
삼차 구가산이라는 이 산봉우리는 인류 수학자들이 수년간 탐험해왔다.
카츠, 랍바, 타오는 매우 이른 시기에, 극단적인 튜브 구조가 세 가지 구조를 나타낸다는 것을 발견했습니다: 점성성, 평면성, 입자성.
하지만 수십 년 동안 아무도 그것들을 완전한 증명으로 만들어내지 못했다.
왕홍과 자흘은 세 단계로 나뉘었다:
2022년에 ‘끈적임’ 성질을 가진 가족 집합에 대한 연구가 발표되었으며, 이는 《미국수학회지》에 실렸습니다.
2024년, Assouad 버전의 비트 수를 확보했습니다.
2025년 2월, 127페이지에 달하는 완전한 증명이 공개되었으며, 3차원 하우스도르프 차원과 민코프스키 차원 버전의 카네시 추측이 해결되었습니다.
△왕홍과 조슈아 잘의 3차원 거주집 추측에 관한 논문
넷스 카츠는 이를 “백년에 한 번 오는 결과”라고 평가했습니다.
동일한 기간에 왕홍은 임강과 함께 평면상의 퍼스테네브 집합 추측 문제도 해결했는데, 이는 조정 분석 분야의 오래된 문제이기도 하다.
이러한 작업들은 이제 OpenAI 논문의 기반이 되었다.
3차원 논문은 구트, 왕홍, 잘 세 사람의 간소화된 증명을 직접 사용했으며, 구트는 왕홍이 MIT에서 박사 과정을 밟았을 때의 지도교수였습니다. 또한 류강과 왕홍의 평면 푸르스텐베르크 추정도 사용되었습니다.
4차원 논문에서는 왕홍과 Zahl의 내적 정리가 사용되었습니다.
만약 두 논문이 최종적으로 인정받는다면, 그것은 왕홍이 세운 틀 위에 두 층을 더 쌓은 것과 같습니다.
또한, 왕홍은 AI에 대한 태도를 배척하는 것이 아닙니다.
수상 후 인터뷰에서 그녀는 AI를 수학 연구의 '주도적인 도구'로 묘사했으며, 질문을 제기하고 개념을 창조하며 이론을 구축하는 것은 여전히 수학자들의 핵심 일이라고 생각했습니다.
인류 수학계는 이미 무너졌다...
지금은 인간 수학의 「위기의 계절」에 해당하는 시기일 것입니다.
과거의 중요한 수학 결과의 생명주기는 대략 다음과 같습니다: 한 사람이나 작은 팀이 몇 년에 걸쳐 만들고 arXiv에 게시한 후, 동료들이 1~2년 동안 심사를 거쳐 학계에서 서서히 소화됩니다.
결과가 명확해지면 몇 년 후에야 상품이 최종적으로 확정될 것입니다.
왕홍과 자알이 이 길을 걸어서 2022년의 매력적인 상황에서 2026년의 필즈상까지 도달하는 데 거의 4년이 걸렸다.
그리고 OpenAI는 이번에 하룻밤 사이에 722편의 수학 원고를 공개했으며, 각 결과는 약 3시간의 ChatGPT Pro 사고 능력을 사용하여 생성되었고, 약 42%의 결과는 Lean 형식화 방식으로 처리되었습니다.
마치 도전하는 것 같아요……
타오제훈은 인류수학협회(AHM)를 이끌고 OpenAI에 대한 전면적인 반대를 표명하는 공동 성명을 발표했습니다.
그 내용의 표현은 상당히 심각했습니다.
수학자들은 이러한 작업을 요구하지 않았습니다. 700개가 넘는 파일을 한 번에 발표한 것은 학문적 성과가 아니라 권력의 표현이었습니다.
발표문은 마지막에 모든 수학자들이 OpenAI와의 협력을 중단하고 인간의 이해를 중심으로 하는 과학적 비전으로 돌아가도록 강력히 촉구했습니다.
타오제톈은 AI를 활용한 연구를 적극적으로 사용해왔으며, 유명한 난제를 대량으로 해결하는 것을 제품 전시로 보는 것에 반대했습니다.
그의 관점에 따르면, 한 문제가 AI에 의해 해결되면 더 이상 풀리지 않은 상태로 돌아갈 수 없으며, 인간 수학자들이 원래 이 문제를 통해 개발할 수 있었던 새로운 방법과 새로운 이해도 함께 끊어지게 된다.
그리고 지금은, 심사가 가장 큰 장애물이 되었습니다.
175페이지 분량의 4차원 거울 증명서에 대해, 전 세계에서 진지하게 이해할 수 있는 사람은 극소수에 불과합니다. 누가 읽을지, 얼마나 시간이 걸릴지, 누구의 업무량이 될지에 대한 답은 아직 알 수 없습니다.
서명과 소유권도 혼란스러워지기 시작했습니다. 같은 문제를 연구하는 학자들은 갑자기 깨어나서, 몇 년 동안 다루던 문제가 어떤 모델에 의해 이미 해결되었다는 것을 알게 될 수 있습니다.
이러한 AI로 생성된 증명이 맞는지는 아직 아무도 모르지만, 주제를 선택하는 것도 더 이상 어렵게 되었습니다.
물론, 흥분한 사람들도 있었습니다.
예를 들어 토론토 대학의 수학 조교수인 다니엘 리트는 수학자들이 앞으로 많은 흥미진진한 일을 할 것이라고 생각합니다.
얀 레쿤도 정반대로, 수학이 새로운 시대를 맞이하고 있다고 생각한다.
형식 증명이 대폭 자동화될 것이며, 초점은 새로운 개념, 새로운 추상화, 새로운 정의, 그리고 새로운 추층의 개발으로 옮겨질 것이다.
배의 발명은 수영의 중요성을 줄였지만, 우리로 하여금 새로운 대륙을 발견하게 했다.
수학계는 구식 체계와 새로운 체계가 격렬하게 충돌하는 전환점에 서 있습니다. 기존의 연구 방식은 변화를 겪고 있으며, 새로운 연구 방식도 아직 형성되지 않았습니다.
미래가 어디로 나아갈지는 지금으로서는 답이 없습니다. 하지만 우리는 이렇게 믿고 싶습니다: 침몰한 배 옆을 천척의 배들이 지나고, 병든 나무 앞에서 만목의 봄이 펼쳐진다.
고어스는 인류가 2030년까지 버틸 수 있을 것이라고 말했습니다. 그리고 다음 번 필즈상은 바로 2030년에 수여될 예정입니다.
그때가 되면, 여전히 사람들이 시상대에 서 있을 수 있을까?