يُشيَانغ (Yu Yang) من قِبل مِنغ خوي (Minhui) يرسل من Ao Fei Si
الكمية الكمية | حساب WeChat الرسمي QbitAI
الذكاء الاصطناعي اليوم يفتح حقًا وضع الاجتياح لإثباتات الرياضيات.
للتو، مرة أخرىمن عشاق الرياضياتاستخدم GPT-6 Astra لدفعلغز رياضي عمره 57 عامًاخطوة كبيرة إلى الأمام.
المشكلة، على ما يبدو، ليست معقدة:
إذا أُعطيت N من الأقراص نصف قطر كل منها 1، كيف يمكن حشرها داخل دائرة كبيرة بحيث يكون نصف قطر الدائرة الكبيرة أصغر ما يمكن؟
في الواقع، قدّم الرياضيون بالفعل في عام 1969 ترتيبًا أنيقًا، غير أن... خلال 57 عامًا، لم يستطع أحد إثبات بشكل صارم أنه الحل الأمثل.
لذا هذه المرة، أخرج عاشق الرياضيات nor أداة GPT-6 Astra... ثم أثبت دفعة واحدة الحالات الـ 5 المتمثلة في 15 و16 و17 و18 و20، أيأثبت صرامًا جميع الحالات المتبقية حيث N≤20……
وقبل ذلك، لم تكن سوى حالات N≤14 وN=19 قد تم التحقق منها.
آه، وبالمناسبة، الوصول إلى N يساوي 20 ليس حد الذكاء الاصطناعي، بل فقط لم يفكر nor في مواصلة الإثبات أبعد من ذلك...
إثبات ظل عالقًا نصف قرن
دعونا نضع هذه المسألة أولًا في صيغة رياضية أكثر.
افترض وجود N من الأقراص نصف قطر كل منها 1، ودائرة كبيرة نصف قطرها R.
المطلوب:
يجب أن تقع جميع الأقراص الصغيرة تمامًا داخل الدائرة الكبيرة، ويجوز أن تكون مماسّة لحدود الدائرة الكبيرة، لكن يجب ألا تتجاوز الحدود.
لا يجوز أن يتقاطع أي قرصان صغيران تداخليًا داخليًا، لكن يجوز أن يكونا مماسّين لبعضهما.
يمكن تحريك الأقراص الصغيرة وترتيبها داخل الدائرة الكبيرة بحرية، دون تقييد طريقة الترتيب.
السؤال هو: لعدد صحيح موجب معطى N، ما أصغر قيمة ممكنة لنصف قطر الدائرة الكبيرة R؟
تبدو مسألة أولمبياد رياضيات عادية لا أكثر، لكن في الحقيقة، إيجاد الترتيب الأمثل هو مجرد الطبقة الأولى من المشكلة، والصعوبة تكمن في كيفية الإثبات الصارم رياضيًّا بأن الترتيب قد بلغ حده الأقصى ولا يوجد ترتيب أفضل منه.
في عام 1968، أثبت الرياضي الأمريكي رونالد غراهام حالة N≤7.
وفي عام 1969، دفع الباحث الرياضي Udo Pirl نطاق الإثبات إلى 10 أقراص، ودرس كذلك ترتيبات 11 إلى 19 قرصًا.
لكن حتى نحو عام 2003، لم تُثبَت حالتا N≤14 وN=19 بشكل صارم إلا حينها.
nor كاتب تقني بحث في الرياضيات وتعلم الآلة وخوارزميات التحسين لفترة طويلة، وشارك علنًا مرارًا في أبحاث الرياضيات المدعومة بالذكاء الاصطناعي.
وهو نفسه انتبه إلى هذه المسألة قبل أكثر من عشر سنوات، وفي الواقع لم تحقق المشكلة أي تقدم يُذكر خلال العقد الماضي ونيف...
ماذا نفقد بعد ذلك، فقط ألقِ المهمة إلى GPT-6 Astra وينتهي الأمر (مزاح).
وسار nor أيضاً تدريجياً: أولاً جعَل GPT-6 Astra يعالج حالة N=15؛ وبعد أن حلّها النموذج، طُلب منه تعميم الطريقة نفسها على 16 و17، ثم 18 و20…… وقد نجح GPT-6 Astra في تقديم نتائج إثبات في جميع الحالات.
غير أن……
عملية الإثبات كانت كالعادة غامضة وصعبة الفهم، تُحيّر العقل.
باختصار، الفكرة الجوهرية لـ GPT-6 Astra هي:
بدلاً من البحث المباشر عن الحل الأمثل، استخدم القيود الهندسية لتقليص عدد الترتيبات الممكنة اللامتناهي إلى حالات محدودة، ثم استبعد حالةً حالة بمساعدة الحاسوب، ليُثبت في النهاية بشكل صارم أن الترتيب الكلاسيكي هو الأمثل بالفعل.
تنقسم عملية الإثبات إلى 5 خطوات:
دفع القرص الخارجي نحو الحدود. الدليل على أنه عند استيفاء شروط معينة يمكن تحريك الأقراص القريبة من الدائرة الخارجية إلى الخارج دون التسبب في تداخل، وبذلك تُقسَّم الأقراص إلى مجموعة على الحدود ومجموعة في الداخل.
استغلال علاقات الزوايا لاستبعاد عدد كبير من الترتيبات. لأن الأقراص لا يمكن أن تتداخل، يجب أن يحافظ القرصان على فاصل زاوي معين بينهما. إذا كان مجموع الزوايا المطلوبة في ترتيب ما يتجاوز 360°، يمكن استبعاده مباشرة.
جعل الحاسوب يعدّد الاحتمالات المتبقية. بدلاً من البحث عن الإحداثيات الدقيقة لكل قرص، يتم فحص نطاق مسافة القرص عن المركز وترتيبه الدوراني.
استخدام الصلابة الهندسية لإثبات الأمثلية الدقيقة. البحث السابق لا يثبت إلا أن جميع الترتيبات الممكنة قريبة جداً من الترتيب الكلاسيكي المعروف. ثم تُستخدم قيود التلامس بين الأقراص لإثبات أن هذه الترتيبات لا يمكن أن تخضع لتشوهات طفيفة مستوفية للشروط، وبذلك يُرفد «قريب جداً» إلى «متطابق تماماً». أما حالة الأقراص الـ15 فقد استخدمت حجة أخرى تعتمد على الحلقات الفردية.
استعادة الترتيب الأصلي. وأخيراً يُثبت أن الترتيب الأصلي لا بد أن يحتوي على قرص واحد على الأقل يلامس حدود الدائرة الخارجية. هذا يعني استحالة حشر جميع الأقراص في دائرة خارجية ذات نصف قطر أصغر، وبذلك يكتمل إثبات الأمثلية.
من الجدير بالتأكيد أن نلاحظ أنه لم يكف أن يعطي nor جولة واحدة من التلميحات ليتولى Astra إثبات كل شيء دفعة واحدة.
كتب nor في مقالته على المدونة أنه بصفته إنساناً، تتمثل مساهمته في هذا العمل في:
تحديد جدوى المشكلة، وتوجيه النموذج، ومحاربة واجهة مستخدم ويب مليئة بالأعطال، وتحمّل الصياغة الرديئة، وإصلاح المشكلات الدقيقة، وصقل العرض مراراً وتكراراً، والتحقق يدوياً من صلاحيته، بالإضافة إلى إعادة فحص كل شيء باستخدام Astra وOpus 5.5.
One More Thing
وهناك أمر لطيف هو أنه بمجرد أن نشر nor النتائج، اكتشف أن هناك عدداً غير قليل من المهتمين بدراسة المسألة نفسها باستخدام الذكاء الاصطناعي.
وأعرب مستخدم آخرون عن رأيهم بأن إنجاز الذكاء الاصطناعي جعل الرياضيات أسهل في الفهم، قائلاً: «لم أكن أعرف أن مجال الرياضيات يمكن أن يتمتع بأجواء استكشاف بهذا الكثافة».
ومن منظور محبي الرياضيات، يمكن اعتبار هذا مناخاً جديداً لعصر الرياضيات 2.0.
رابط المقال الأصلي:
[1] https://nor-blog.pages.dev/posts/2026-10-11-circle-in-circle-packing-15-20/
[2]https://x.com/norxornor/status/2109078411251454017
— انتهى —