Yuyang, von QbitAI
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Die KI hat jetzt wirklich den Modus „Mathematische Beweise durchfegen“ gestartet.
Gerade eben hat wieder einMathe-Enthusiastmit GPT-6 Astra ein57 Jahrealtes mathematisches Problem einen großen Schritt vorangebracht.
Das Problem klingt gar nicht kompliziert:
Man erhält N Scheiben mit Radius 1 – wie packt man sie in einen großen Kreis, sodass der Radius des großen Kreises möglichst klein wird?
Tatsächlich haben Mathematiker bereits 1969 eine elegante Anordnung angegeben – nur hat in 57 Jahren niemand streng beweisen können, dass diese optimal ist.
Also holte der Mathe-Enthusiast nor diesmal GPT-6 Astra heraus … und bewies in einem Zug die 5 Fälle 15, 16, 17, 18 und 20, alsoalle verbleibenden Fälle von N≤20 wurden streng bewiesen……
Zuvor waren nur die Fälle N≤14 und N=19 verifiziert.
Ach ja: N=20 ist nicht das Limit der KI, nor wollte einfach nicht weiter beweisen …
Ein Beweis, der ein halbes Jahrhundert lang blockiert war
Bringen wir das Problem zunächst in eine mathematischere Form.
Angenommen, es gibt N Scheiben mit Radius 1 sowie einen großen Kreis mit Radius R.
Gefordert ist:
Alle kleinen Scheiben müssen vollständig innerhalb des großen Kreises liegen; sie dürfen den Rand des großen Kreises tangieren, dürfen ihn aber nicht überschreiten.
Zwei beliebige kleine Scheiben dürfen sich nicht intern überlappen, dürfen sich aber berühren (tangieren).
Die kleinen Scheiben dürfen innerhalb des großen Kreises frei bewegt und angeordnet werden; die Anordnungsweise ist nicht eingeschränkt.
Die Frage lautet: Wie klein kann der Radius R des großen Kreises für eine gegebene positive ganze Zahl N mindestens sein?
Auf den ersten Blick eine völlig unscheinbare Mathe-Olympiade-Aufgabe, doch in Wirklichkeit ist das Finden einer optimalen Anordnung nur die erste Ebene des Problems; schwer ist es, streng mathematisch zu beweisen, dass die Anordnung das Limit erreicht und es keine bessere Anordnung gibt.
1968 bewies der amerikanische Mathematiker Ronald Graham den Fall N≤7.
1969 führte der mathematische Forscher Udo Pirl den Beweis bis zu 10 Scheiben und untersuchte darüber hinaus die Anordnungsschemata für 11 bis 19 Scheiben.
Aber erst um das Jahr 2003 wurden die Fälle N≤14 und N=19 streng bewiesen.
nor ist ein technischer Autor, der sich seit Langem mit Mathematik, maschinellem Lernen und Optimierungsalgorithmen beschäftigt, und hat mehrfach öffentlich an KI-gestützter mathematischer Forschung teilgenommen.
Er selbst ist dieses Problem schon vor über einem Jahrzehnt aufgefallen, und in den vergangenen gut zehn Jahren gab es dabei tatsächlich kaum Fortschritte …
Dann sagt man nichts weiter – einfach an GPT-6 Astra werfen, passt doch (nicht wirklich).
nor geht auch Schritt für Schritt vor: Zuerst lässt man GPT-6 Astra den Fall N=15 bearbeiten; nachdem das Modell ihn gelöst hat, lässt man es dieselbe Methode auf 16, 17 sowie 18 und 20 verallgemeinern … GPT-6 Astra lieferte in allen Fällen erfolgreich Beweisergebnisse.
Nur …
der Beweisgang ist wie immer kryptisch und schwer verständlich.
Ganz einfach gesagt ist die Kernidee von GPT-6 Astra:
Statt direkt die optimale Lösung zu suchen, werden mithilfe geometrischer Bedingungen die unendlich vielen möglichen Anordnungen auf endlich viele Fälle reduziert, die dann nacheinander rechnerisch ausgeschlossen werden – am Ende wird so streng bewiesen, dass die klassische Anordnung bereits optimal ist.
Der Beweisprozess gliedert sich in 5 Schritte:
Die äußeren Scheiben zum Rand hin schieben. Der Beweis zeigt, dass unter bestimmten Bedingungen die Scheiben, die näher am äußeren Kreis liegen, nach außen verschoben werden können, ohne dass Überlappungen entstehen. Dadurch werden die Scheiben in eine Gruppe am Rand und eine Gruppe im Inneren unterteilt.
Mithilfe von Winkelbeziehungen viele Anordnungen ausschließen. Da sich die Scheiben nicht überlappen dürfen, müssen sie einen bestimmten Winkelabstand voneinander einhalten. Wenn eine bestimmte Anordnung eine Winkelsumme von mehr als 360° erfordert, kann sie direkt ausgeschlossen werden.
Den Computer die verbleibenden Möglichkeiten durchzählen lassen. Statt nach den konkreten Koordinaten jeder Scheibe zu suchen, werden die Abstandsintervalle der Scheiben zum Mittelpunkt sowie ihre Anordnungsreihenfolge rundum überprüft.
Mit geometrischer Starrheit die exakte Optimalität beweisen. Die vorherige Suche konnte nur zeigen, dass alle zulässigen Anordnungen der bekannten klassischen Anordnung sehr nahe kommen. Anschließend werden mithilfe der Kontaktbedingungen zwischen den Scheiben diese Anordnungen als nicht verformbar im kleinen Maßstab nachgewiesen, wodurch „sehr nah“ zu „streng identisch“ erhoben wird. Für den Fall von 15 Scheiben wurde ein anderes Argument mit ungeradem Ring verwendet.
Die ursprüngliche Anordnung rekonstruieren. Schließlich wird bewiesen, dass in der ursprünglichen Anordnung mindestens eine Scheibe den Rand des äußeren Kreises berühren muss. Das bedeutet, dass es unmöglich ist, alle Scheiben in einen äußeren Kreis mit kleinerem Radius zu zwängen, womit der Optimalitätsbeweis abgeschlossen ist.
Hervorzuheben ist, dass Astra nicht mit einer Runde Prompts von nor die ganzen Beweise im Handumdrehen geliefert hat.
nor schreibt in seinem Blogbeitrag, dass sein Beitrag als Mensch zu dieser Arbeit Folgendes umfasste:
Die Machbarkeit des Problems feststellen, das Modell anleiten, mit einer fehlerhaften Weboberfläche kämpfen, miserablen Text ertragen, kleine Probleme beheben, Formulierungen immer wieder überarbeiten, deren Gültigkeit manuell überprüfen sowie alles mit Astra und Opus 5.5 erneut kontrollieren.
One More Thing
Eine interessante Sache: Kaum hatte nor die Ergebnisse veröffentlicht, stellte er fest, dass es durchaus weitere Gleichgesinnte gibt, die mit KI am selben Problem forschen.
Ein Nutzer merkte außerdem an, dass die KI-Durchbrüche die Mathematik verständlicher machen: „Ich wusste gar nicht, dass es im Bereich der Mathematik eine so ausgeprägte Entdeckungsatmosphäre geben kann.“
Aus Sicht der Mathematikbegeisterten ist das wohl auch ein neues Aufblühen im Zeitalter der Mathematik 2.0.
Link zum Originalartikel:
[1] Siehe: https://nor-blog.pages.dev/posts/2026-10-11-circle-in-circle-packing-15-20/
[2]https://x.com/norxornor/status/2109078411251454017
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