Yu Yang, enviado desde Aofeisi
QbitAI | Cuenta oficial de WeChat: QbitAI
La IA realmente ha entrado en modo de barrido de demostraciones matemáticas.
Hace un momento, otra vezAficionados a las matemáticasUsa GPT-6 Astra para convertir unel año 57Un gran paso adelante en un difícil problema matemático.
El problema, en realidad, no suena complicado:
Se te dan N discos de radio 1; ¿cómo colocarlos dentro de un círculo grande para que el radio de este sea lo más pequeño posible?
De hecho, los matemáticos ya dieron en 1969 una elegante disposición, solo que… durante 57 años nadie había logrado demostrar rigurosamente que esa fuera la solución óptima.
Así que esta vez, el aficionado a las matemáticas nor sacó el GPT-6 Astra… y de una sola vez demostró rigurosamente los 5 casos restantes, es decir, los de 15, 16, 17, 18 y 20, o sea,los casos restantes de N≤20 quedaron demostrados rigurosamente.……
Antes, solo se habían verificado los casos de N≤14 y N=19.
Ah, por cierto, N hasta 20 no es el límite de la IA, solo que nor no quiso seguir demostrando más allá…
La demostración que estuvo atascada medio siglo
Primero pongamos el problema en una forma más matemática.
Supongamos que hay N discos, todos de radio 1, y un círculo grande de radio R.
Requisitos:
Todos los discos pequeños deben estar completamente dentro del círculo grande; pueden ser tangentes al borde del círculo grande, pero no sobrepasarlo.
Ningún par de discos pequeños puede superponerse internamente, aunque se permite que sean tangentes entre sí.
Los discos pequeños pueden moverse y disponerse libremente dentro del círculo grande, sin restricción alguna sobre la disposición.
La pregunta es: para un entero positivo N dado, ¿cuál es el valor mínimo posible del radio R del círculo grande?
Parece un problema común de olimpiada matemática, pero en realidad encontrar la disposición óptima es solo el primer nivel del problema; la dificultad está en cómo demostrar rigurosamente, desde el punto de vista matemático, que la disposición ya ha alcanzado el límite y que no existe una mejor colocación.
En 1968, el matemático estadounidense Graham demostró el caso N≤7.
En 1969, el investigador matemático Udo Pirl llevó la demostración hasta 10 discos, y además estudió disposiciones para 11 a 19 discos.
Pero no fue hasta alrededor de 2003 que se demostraron rigurosamente los casos de N≤14 y N=19.
nor es un autor técnico que lleva mucho tiempo investigando matemáticas, aprendizaje automático y algoritmos de optimización, y ha participado públicamente en varias ocasiones en investigación matemática asistida por IA.
Él mismo se fijó en este problema hace más de diez años, y la verdad es que en la última década no ha habido apenas avances en él…
No hace falta decir más: se lo dejamos a GPT-6 Astra y asunto resuelto (broma).
nor también fue paso a paso: primero hizo que GPT-6 Astra procesara el caso N=15; una vez que el modelo lo resolvió, le pidió extender el mismo método a 16, 17, así como a 18 y 20… GPT-6 Astra dio con éxito resultados de prueba en todos los casos.
Solo que…
El proceso de demostración, como siempre, es críptico y difícil de entender.
En pocas palabras, la idea central de GPT-6 Astra es la siguiente:
En lugar de buscar directamente la solución óptima, utiliza restricciones geométricas para reducir las infinitas permutaciones posibles a un número finito de casos, y luego los descarta uno por uno con una computadora, demostrando con rigor que la permutación clásica ya es óptima.
El proceso de demostración se divide en 5 pasos:
Empujar los discos exteriores hacia el borde. La demostración muestra que, bajo ciertas condiciones, se pueden mover los discos cercanos al círculo exterior hacia afuera sin causar superposiciones. Esto divide los discos en un grupo en el borde y otro en el interior.
Usar relaciones angulares para descartar una gran cantidad de disposiciones. Como los discos no pueden superponerse, deben mantener ciertos intervalos angulares entre ellos. Si una disposición requiere una suma de ángulos superior a 360°, puede descartarse directamente.
Hacer que la computadora enumere las posibilidades restantes. En lugar de buscar las coordenadas exactas de cada disco, se comprueban los intervalos de distancia de cada disco al centro y su orden de disposición alrededor.
Usar rigidez geométrica para demostrar el óptimo exacto. La búsqueda anterior solo puede demostrar que todas las disposiciones factibles están muy cerca de la disposición clásica ya conocida. A continuación, usando las restricciones de contacto entre los discos, se demuestra que estas disposiciones no pueden sufrir pequeñas deformaciones que cumplan las condiciones, elevando así «muy cerca» a «estrictamente idéntica». El caso de los 15 discos utilizó otro tipo de argumento de anillo impar.
Restaurar la disposición original. Finalmente, se demuestra que en la disposición original debe existir al menos un disco que toque el borde del círculo exterior. Esto significa que es imposible meter todos los discos en un círculo exterior de radio menor, completando así la demostración de optimalidad.
Cabe destacar que no fue que nor le diera una ronda de prompts a Astra y este demostrara todo de golpe.
nor escribió en su entrada del blog que su contribución como ser humano en este trabajo incluyó:
determinar la viabilidad del problema, guiar al modelo, luchar contra una interfaz web llena de errores, soportar textos pésimos, corregir detalles sutiles, pulir la exposición una y otra vez, verificar manualmente su validez, y usar Astra y Opus 5.5 para revisarlo todo de nuevo.
One More Thing
Algo bastante interesante es que, en cuanto nor publicó los resultados, descubrió que había bastantes colegas usando IA para investigar el mismo problema.
También hay internautas que comentan que los avances de la IA hacen que las matemáticas sean más fáciles de entender: «No sabía que el ámbito de las matemáticas pudiera tener un ambiente de exploración tan intenso».
Desde la perspectiva de los aficionados a las matemáticas, es también un nuevo aire de la era de las matemáticas 2.0.
Enlaces al artículo original:
[1] https://nor-blog.pages.dev/posts/2026-10-11-circle-in-circle-packing-15-20/
[2]https://x.com/norxornor/status/2109078411251454017
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