Yuyang, depuis Aofeisi
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L'IA ouvre vraiment maintenant le mode rafale de démonstrations mathématiques.
À l'instant, il y a encorePassionné de mathématiquesUtilisez GPT-6 Astra pour transformer unl'année 57Une grande avancée a été réalisée dans un difficile problème mathématique.
La question ne semble pas si compliquée :
On vous donne N disques de rayon 1 : comment les ranger dans un grand cercle pour que le rayon de ce grand cercle soit aussi petit que possible ?
En réalité, les mathématiciens ont effectivement proposé dès 1969 un arrangement élégant, sauf que… depuis 57 ans, personne n'a pu prouver rigoureusement qu'il s'agissait de la solution optimale.
Ainsi, cette fois, le passionné de mathématiques nor a sorti GPT-6 Astra… et a traité d'un coup les 5 cas suivants : 15, 16, 17, 18 et 20, c'est-à-direLes cas restants pour N≤20 ont tous été rigoureusement démontrés.……
Auparavant, seuls les cas N≤14 et N=19 avaient été vérifiés.
Ah oui, N jusqu'à 20, ce n'est pas la limite de l'IA, c'est juste que nor n'a pas voulu continuer à le démontrer...
Une démonstration bloquée pendant un demi-siècle
Commengons par mettre ce problème sous une forme plus mathématique.
Supposons qu'il existe N disques de rayon 1 chacun, ainsi qu'un grand cercle de rayon R.
Exigences :
Tous les petits disques doivent être entièrement situés à l'intérieur du grand cercle ; ils peuvent être tangents à la bordure du grand cercle, mais ne doivent pas la dépasser.
Deux petits disques quelconques ne doivent pas se chevaucher intérieurement, mais la tangence entre eux est autorisée.
Les petits disques peuvent être déplacés et disposés librement à l'intérieur du grand cercle, sans restriction sur la manière de les agencer.
La question est : pour un entier positif N donné, quelle est la valeur minimale possible du rayon R du grand cercle ?
À première vue, c'est un exercice olympiadique banal, mais en réalité, trouver la disposition optimale n'est que la première couche du problème ; la difficulté réside dans la manière de prouver rigoureusement, sur le plan mathématique, que la disposition a atteint sa limite et qu'il n'existe aucun meilleur arrangement.
En 1968, le mathématicien américain Ronald Graham a démontré le cas N≤7.
En 1969, le chercheur en mathématiques Udo Pirl a poussé la démonstration jusqu'à 10 disques, et a étudié en outre les schémas de disposition pour 11 à 19 disques.
Mais ce n'est qu'autour de 2003 que les cas N≤14 ainsi que N=19 ont été rigoureusement démontrés.
nor est un auteur technique qui étudie depuis longtemps les mathématiques, l'apprentissage automatique et les algorithmes d'optimisation, et qui a participé publiquement à plusieurs reprises à la recherche mathématique assistée par l'IA.
Lui-même s'était intéressé à ce problème il y a plus de dix ans, et force est de constater que ce problème n'a guère progressé durant ces dix dernières années…
Alors là, on n'hésite plus : on balance tout à GPT-6 Astra, c'est parfait (humour).
nor a procédé par étapes : d'abord faire traiter par GPT-6 Astra le cas N=15 ; une fois le problème résolu par le modèle, lui faire généraliser la même méthode à 16, 17, puis à 18 et 20… GPT-6 Astra a réussi à fournir des preuves dans tous les cas.
Seulement voilà…
Le processus de démonstration est, comme toujours, obscur et difficile à comprendre.
En simplifiant, l'idée centrale de GPT-6 Astra est la suivante :
plutôt que de chercher directement la solution optimale, on utilise des contraintes géométriques pour réduire les arrangements possibles, infiniment nombreux, à un nombre fini de cas, puis on les élimine un par un par ordinateur, aboutissant finalement à une preuve rigoureuse que l'arrangement classique est déjà optimal.
La démonstration se déroule en 5 étapes :
Pousser le disque extérieur vers la bordure。La démonstration montre que, lorsque des conditions spécifiques sont satisfaites, on peut déplacer vers l'extérieur les disques proches du cercle extérieur sans provoquer de chevauchement. On sépare ainsi les disques en un groupe situé sur la frontière et un groupe situé à l'intérieur.
Utiliser les relations angulaires pour éliminer un grand nombre de permutations. Comme les disques ne peuvent pas se chevaucher, un certain espacement angulaire doit être maintenu entre eux. Si un arrangement donné exige une somme d'angles supérieure à 360°, il peut être directement écarté.
laisser l'ordinateur énumérer les possibilités restantes. Au lieu de rechercher les coordonnées précises de chaque disque, on examine les intervalles de distance des disques au centre ainsi que leur ordre d'entourage.
prouver l'optimalité exacte par la rigidité géométrique. La recherche précédente ne permettait de montrer que tous les agencements réalisables sont très proches de l'agencement classique connu. On utilise ensuite les contraintes de contact entre disques pour prouver que ces agencements ne peuvent subir de micro-déformations admissibles, ce qui fait passer de « très proche » à « strictement identique ». Le cas des 15 disques a recours à un autre type d'argument d'anneau impair.
restituer l'agencement original. Enfin, on prouve que dans l'agencement original, au moins un disque touche nécessairement la bordure du cercle extérieur. Cela signifie qu'il est impossible de faire tenir tous les disques dans un cercle extérieur de rayon plus petit, complétant ainsi la preuve d'optimalité.
Il convient de souligner que ce n'est pas avec une seule série de prompts donnés à nor qu'Astra a tout prouvé en un clin d'œil.
nor écrit dans son article de blog que, en tant qu'humain, ses contributions à ce travail comprennent :
déterminer la faisabilité du problème, guider le modèle, se battre avec une interface web truffée de bugs, endurer des textes médiocres, corriger des problèmes subtils, peaufiner l'exposé à répétition, vérifier manuellement la validité, ainsi que tout revérifier avec Astra et Opus 5.5.
One More Thing
Un fait assez intéressant : dès que nor a publié ses résultats, il a découvert qu'il n'était pas le seul à étudier le même problème avec l'IA.
Un internaute a également indiqué que les percées de l'IA rendaient les mathématiques plus accessibles : « Je ne savais pas que le domaine des mathématiques pouvait avoir une atmosphere d'exploration aussi intense. »
Du point de vue des passionnés de mathématiques, c'est aussi une nouvelle atmosphère de l'ère des mathématiques 2.0.
Lien vers l'article original :
[1] https://nor-blog.pages.dev/posts/2026-10-11-circle-in-circle-packing-15-20/
[2]https://x.com/norxornor/status/2109078411251454017
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