OpenAIは、自社の内部モデルがコンピュータ科学における中心的な仮定を覆し、千年の賞問題の一つであることを証明したと述べています。その他の結果もあります。今後、外部の専門家がその証明が真実であるかどうかを判断することになります。
OpenAIは、数学、コンピュータ科学、物理学の分野で得られた3つの成果をブログ記事で公開しました。同社によると、内部のAIモデルがその証明を生成したとのことです。OpenAIは、これらの論文をまだ理解する必要がある生の研究データと呼んでいます。
そのため、OpenAIは外部の専門家に「羊飼い」としての役割を担ってもらった。彼らのアドバイスに基づき、同社は各分野を異なる方法で扱っている。OpenAIによると、数学やコンピュータ科学の論文もLeanに翻訳されたという。
Leanは、コンピュータが証明の各ステップをチェックすることを可能にするプログラミング言語です。しかし、その結果がエラーなしであることを保証するわけではありません。Leanは、証明がLeanで書かれた通りの命題を確立しているかどうかのみをチェックします。専門家は、その命題が実際に意図された問題を正確に表しているかどうかを決定する必要があります。
OpenAIが正しいとすれば、コンピュータ科学の基本的な仮定が間違っている
コンピュータサイエンスの成果は、指数時間仮説（ETH）に焦点を当てている。これはブール論理的可满足性問題、すなわちSATに関するものである。SATは、変数が真または偽のみである論理式を扱う。問題は、変数を設定して全体の式が真になるようにすることが可能かどうかである。
数少ない変数だけで、すべての組み合わせを試すことができます。しかし、新しい変数が1つ増えるごとに可能性の数は2倍になります。100個の変数がある場合、すでに31桁の数となります。
簡単に言うと、ETHは実際の近道はないと述べています。試行錯誤を早めることはできますが、最悪の場合でも計算時間は指数関数的に増加し、追加される各変数ごとに固定された割合で増大します。
OpenAIは、満足可能性問題がP対NP問題と密接に関連していると述べています。これは、解を迅速に検証できる問題が同様に迅速に解くことができるかどうかという有名な未解決の問いです。SATでは、提案された答えを入力して数学的計算を行うだけで検証が容易です。難しい部分は、有効な答えを見つけることです。
SATは、この種の難問の教科書例であると見なされている。それを迅速に解決する方法があれば、他の何千もの問題も同様に迅速に解決できるようになるだろう。しかし、ほとんどの専門家はそのような方法は存在しないと考えている。この考え方は「PはNPと等しくない」という略称で表される。
ETHはその推測をさらに進める。SATが難しいというだけでなく、どれほど難しいかも述べている。ETHが失敗した場合、PがNPとは異なる可能性があるため、難しい問題は自動的に簡単になるわけではない。
ETHは真実として広く受け入れられている。グラフ理論、計算生物学、データベース、計算幾何学に関する数百篇の論文がそれに基づいている。例えば、ETHが正しいとされる限り、ある問題を特定の時間より速く解決することはできないということを示している。
今、OpenAIは自社のシステムがETHが偽物であることを証明したと発表しています。もしその証明が正しいなら、それらの論文は根拠を失うことになります。その結果は自動的に間違っているわけではありませんが、もはや証明されることはなくなります。
OpenAIは、その結果が研究者たちがより優れたアルゴリズムを見つけるのに役立つ可能性があると述べています。しかし、それを実用的な成果に変えるには、まだ多くの研究が必要です。
実用的な成果は不明確だが、理論的な影響は大きいだろう
SATは実際には非常に重要です。例えば、SATソルバーと呼ばれる専門的なプログラムが、チップ設計の誤りを検出したり、ソフトウェアをテストしたりします。
彼らはしばしば、すでに数百万の変数を持つ公式を扱う。これは、実世界のアプリケーションから得られる公式が、ETHが対処する最悪のケースよりも通常はずっと簡単だからである。最悪のケースだけを加速させるだけでは、これらのプログラムに自動的に役立つことはない。
MITの教授であるライアン・ウィリアムズはX上で同様に慎重な調子で語った。ユーザーが日常的な開発者が最初に気づく点について尋ねられた時、ウィリアムズはまだ誰もわからないと述べた。現在のペースでいくと、実用的なSAT問題解決が12ヶ月以内に大きな進展を見る可能性があると彼は言った。「あるいは、何も変わらないかもしれない。本当にわからない」と彼は認めた。
その結果は、複雑性理論自体にも波及するだろう。特に回路の研究においてである。回路とは、AND、OR、NOTのような単純な論理ゲートからなるネットワークである。OpenAIの結果が正しいとすれば、ウィリアムズは、ある種の非常に難しい問題は小さな回路では解決できないということになると述べている。「小さな」とは、入力の長さが2倍になると、回路には最大で約2倍のゲートが必要になるという意味である。
ETHを考案した人々は、それが間違っているかどうかを確認している
ウィリアムズは、UCサンディエゴのラッセル・インパガリッツォおよびラマモハン・パトゥリと共に、独立して結果をチェックし説明する。インパガリッツォとパトゥリはもともとフランシス・ザネと共にETHを提案した。ウィリアムズによると、このグループはいかなる秘密保持契約も結んでおらず、無給で働いており、進行中の暫定的な成果を共有する予定である。
公開された書簡の中で、3人は自身の関与がその主張を支持するものではないと明言しています。彼らは、このような大きな結果には慎重かつ独立した評価が必要だと述べています。
グループの要望により、OpenAIは書かれた証明とLeanの証明を含むすべての原始データを公開しています。また、この結果が分野に与える影響についての会議の資金提供も約束しました。
数十年前の波の仮説は、今やすべての次元で成り立つかもしれない
その数学的結果は、音や光、地震のような波に関する仮説に関するものです。数学者クリストファー・ソグーが1991年に提案しました。
波は、拡大鏡の焦点にある光のように、一箇所に集中することがある。この仮説では、このような極端な集中は短時間しか続かないと言われている。時間を通じて平均すると、波は極端な場合よりも滑らかな、または均一な動きをする。だからこそ、これを「局所平滑化仮説」と呼ばれるのである。
これまで、水面のような表面上の波についての2次元でのみ証明が行われていました。Guth、Wang、Zhangは2019年にそのことを行いました。OpenAIによると、そのモデルは現在、空間上の波やさらに多くの次元を持つ仮想的な空間における波を含む、すべての次元に対する証明を生成しているとのことです。
OpenAIは、その結果が波の範囲を超えると述べています。局所平滑化の仮説がこの分野にとって非常に基本的であるため、他にも2つのよく知られた仮説がそれから導かれます。それは、幾何学からのKakeya仮説と、フーリエ解析からのSteinの制限仮説です。フーリエ解析は、音声のような信号を個々の振動に分けるものです。局所平滑化の仮説を証明することで、これら2つも同時に証明されることになります。
カケヤの仮説は、これらの後続結果がいかに難しいかを示している。王とザールは2025年に3次元の場合のみを証明した。OpenAIによると、両方の仮説は今やすべての次元で解決されるという。
他の2つの結果とは異なり、この証明を監督する専門のグループは存在しない。OpenAIは、そのような協力について話し合うために外部の専門家に連絡を取ったと述べている。しかし、その専門家のアドバイスに基づき、同社は証明文書とLeanの証明を直接公開した。これにより、研究者たちは自らがどのように結果を検証するかを決定できる。
OpenAIは量子場理論を確かな数学的基盤の上に構築したいと考えている
物理学的結果は粒子物理学の基礎となる。物理学者は基本粒子とそれらの間の力を量子場理論を用いて記述する。OpenAIはこの理論を現代の理論物理学において最も重要な枠組みと呼んでいる。その予測は非常に正確であるが、理論には正確な数学的基盤がない。
代わりに、物理学者たちは近似を用いて研究を行う。例えば、点の仮想的な格子のようなもので、彼らはそれをより細かくしていく。これが一意で一貫した理論を生み出すかどうか、つまり数学的な意味での「理論が存在するか」という点は依然として未解決の問題である。それが自然を正確に記述しているかどうかは別の問題である。
OpenAIは、自身のAIが特定の量子場理論が4次元に存在することを証明したと述べています。これは、3次元の空間と時間を意味します。これまで、粒子が互いに相互作用する理論において、4次元でそのような証明を行った人は誰もいません。
強い力がその中心に位置している。それはクォークをプロトンと中性子に結合させ、それが原子核を維持する。グルーオンと呼ばれる粒子がその力を運ぶ。この証明は、一歩一歩で互いに連なる3つの理論を含んでいる。
下のステップはヤング・ミルズ理論です。これはクォークを含まず、グルーオンのみを記述しています。これは7つのミレニアム賞問題の一つと関連しており、各問題にはクレイ数学研究所から100万ドルの賞金が与えられています。
問題には二つの部分がある。第一は、ヤン・ミルズ理論が数学的に存在することを証明することである。第二は、いわゆる質量ギャップがあることを示すことである。OpenAIは、存在性の部分のみを解決したと明言している。つまり、ミレニアム問題は完全には解決されていないということだ。
質量のギャップは謎を暗示している。方程式において、グルオンには質量がなく、質量のない粒子が及ぼす力は通常非常に遠くまで及ぶ。質量のない光が持つ電磁力がその一例である。対照的に、強い力は原子核内のようなごく短い距離のみ作用する。物理学者たちは、グルオンが質量を持つ構造に集まり、最も軽いものでさえも質量がないわけではないと説明している。 ゼロと最小の質量との間のギャップは、質量ギャップと呼ばれる。コンピュータシミュレーションではそれが裏付けられるが、数学的に証明された者はいない。
第二のステップは量子色動力学（QCD）です。これによりクォークが加わり、強い力の完全な説明が得られます。
OpenAIは、漸近自由のため、両方の理論が数学的に存在できると述べています。これは、粒子が近づくにつれて強い力が弱まるということを意味します。その結果、格子がより細かくなる場合でも、数学的計算は管理可能なものとなります。
第三のステップは通常、粒子物理学の標準モデルである。これは4つの基本力のうち3つを説明しており、重力を除くすべてを含む。しかしOpenAIによると、その力の中には小さな距離で強くなるものもあるため、任意に小さい距離まで拡張することはできない。
そのため、この証明は最も単純な大統一理論を扱っている。これにより、3つの力が1つの力にまとめられ、標準模型の力と物質粒子も含まれる。強い力と同様に、この統一力は短距離では弱くなる。しかし、そのような理論を確認した実験はない。
もしその証明が正しいなら、3つのステップはすべて数学的な基盤を持つことになる。それによって物理学的な予測に何の変化も生じない。OpenAIは、量子場理論を数学的に厳密な学問分野にすることになると期待している。
デイヴィッド・グロスが率いるグループがこの研究を推進する。グロスは漸近自由に関する研究で2004年のノーベル物理学賞を受賞した。このグループには、マイケル・ダグラス、アーサー・ジャフェ、イゴール・クレバノフ、ニキータ・ネクラソフも含まれる。ジャフェはヤン・ミルズ理論に関する千年賞問題の作成に協力した。
OpenAIは、ヤン・ミルズの証明をLeanに翻訳したと発表しています。しかし、コンピュータ科学のグループとは異なり、このグループは現時点でAIの資料を保留しており、結果自体を書き留める計画です。
OpenAIのレビュープロセスには独自の疑問が生じる
OpenAIは、このプロセスには妥協が伴うと認めている。最初に羊飼いを選ぶ人が、誰が先に関与するかを決定し、会社が記事を書き、そして一部の人々は他の人より早く情報を得ることになる。OpenAIはまた、3つのアプローチのうちどれが最も有効かはまだ明らかではないと述べている。
OpenAIは、これらの発見に対する科学的功績を主張していないと述べています。功績は、結果を説明するグループに帰すべきです。この会社は、Navier-Stokesに関するPRの災害の後、批判に応答しているようです。
OpenAIはまた、AIの成果に関するワークショップや会議を資金提供するため、Simons Foundationに500万ドルを提供すると約束しました。
ウィリアムズのグループは、そのオープンリーフを利用して、レビューを超えたより広範な議論を呼びかけています。問題は、AIの成果をどのように確認するか、誰がそれらにアクセスできるか、そして誰が功績を得るべきかです。