위양(鱼羊), 아페이쓰(凹非寺)에서 발송
량자위(量子位) | 위챗 공식 계정 QbitAI
AI가 이제 정말 수학 증명 소탕 모드를 시작했습니다.
방금 또수학 애호가GPT-6 Astra로 하나를57년수학 난제가 큰 진전을 이루었습니다.
질문은 그렇게 복잡하지 않아 보인다:
반지름이 1인 원판 N개가 주어졌을 때, 이것들을 하나의 큰 원 안에 넣으면서 큰 원의 반지름을 최대한 작게 만들려면 어떻게 해야 할까요?
사실 수학자들은 이미 1969년에 아름다운 배열 방안을 제시했지만, ……57년 동안 아무도 그것이 최적해임을 엄밀하게 증명하지 못했다.
그래서 이번에는 수학 애호가 nor가 GPT-6 Astra를 꺼내 들었다…… 그리고 15, 16, 17, 18, 20의 5가지 경우, 즉N≤20인 나머지 경우들은 모두 엄밀하게 증명되었다……
이전에는 N≤14와 N=19인 경우만 검증되어 있었다.
아 맞다, N이 20까지라는 것은 AI의 한계가 아니라, 그냥 nor이 더 아래로 증명할 생각을 하지 않았을 뿐이다……
50년간 걸려 있던 증명
이 문제를 먼저 좀 더 수학적인 형태로 정리해 봅시다.
반지름이 모두 1인 원판 N개와 반지름이 R인 큰 원이 있다고 가정하자.
요구 사항:
모든 작은 원판은 큰 원 내부에 완전히 있어야 하며, 큰 원의 경계와 접할 수는 있지만 경계를 벗어나서는 안 된다.
임의의 두 작은 원판은 내부적으로 겹쳐서는 안 되지만, 서로 접하는 것은 허용된다.
작은 원판은 큰 원 안에서 자유롭게 이동하거나 배열할 수 있으며, 배열 방식은 제한되지 않습니다.
문제는 다음과 같습니다: 주어진 양의 정수 N에 대해, 대원의 반지름 R은 최소 얼마일 수 있을까요?
겉보기에는 평범해 보이는 올림피아드 수학 문제지만, 사실 최적의 배치를 찾는 것은 문제의 첫 번째 층에 불과하며, 진짜 어려운 점은 배치가 이미 한계에 도달했고 더 나은 다른 배치가 없다는 것을 수학적으로 엄밀하게 증명하는 방법에 있다.
1968년에 미국 수학자 그레이엄은 N≤7인 경우를 증명했다.
1969년, 수학 연구자 Udo Pirl은 증명 범위를 10개의 원판으로 확장했고, 나아가 11~19개 원판의 배열 방식을 연구했다.
그러나 2003년 무렵에 이르러서야 N≤14 및 N=19의 경우가 엄밀하게 증명되었다.
nor는 수학, 머신러닝, 최적화 알고리즘을 오랫동안 연구해 온 기술 작가로, AI 보조 수학 연구에 여러 차례 공개적으로 참여한 바 있다.
그는 본인이 10여 년 전부터 이 주제에 주목해 왔으며, 지난 10여 년 동안 이 문제는 실제로 별다른 진전이 없었다.
그럼 뭐 말할 것도 없이 GPT-6 Astra에게 던져주면 딱이지(는 아니고).
nor도 단계적으로 진행했다: 먼저 GPT-6 Astra에게 N=15인 경우를 처리하게 했다; 모델이 해결한 뒤, 같은 방법을 16, 17, 그리고 18과 20으로 확장하게 했다…… GPT-6 Astra는 모두 성공적으로 증명 결과를 제시했다.
다만 말이지……
증명 과정은 여전히 난해하고 이해하기 어렵다.
간단히 말하면, GPT-6 Astra의 핵심 아이디어는 다음과 같다:
최적해를 직접 찾는 대신, 기하학적 제약을 통해 무한히 많은 가능한 배열을 유한한 경우로 축소한 뒤, 컴퓨터로 하나씩 배제하여 최종적으로 고전적 배열이 최적임을 엄밀하게 증명했다.
증명 과정은 5단계로 나뉜다:
바깥쪽 원반을 경계 쪽으로 밀어내기입니다. 증명에서는 특정 조건이 만족될 때 바깥 원에 가까운 원반을 겹침 없이 바깥쪽으로 이동할 수 있음을 보입니다. 이를 통해 원반들을 경계 위의 한 그룹과 내부의 한 그룹으로 나눕니다.
각도 관계를 이용해 다수의 배치 배제하기입니다. 원반은 서로 겹칠 수 없으므로 원반들 사이에는 일정한 각도 간격이 유지되어야 합니다. 어떤 배치가 요구하는 각도의 총합이 360°를 초과한다면 그 배치는 바로 배제할 수 있습니다.
컴퓨터로 나머지 가능성을 열거하기입니다. 더 이상 각 원반의 구체적인 좌표를 탐색하는 대신, 원반에서 원심까지의 거리 구간과 그 둘레 순서를 검사합니다.
기하학적 강성으로 정확한 최적을 증명하기입니다. 앞선 탐색은 모든 실현 가능한 배치가 이미 알려진 고전적 배치에 매우 가깝다는 것만 보여줄 뿐입니다. 다음으로 원반들 사이의 접촉 제약을 이용해 이러한 배치가 조건을 만족하는 미세한 변형을 일으킬 수 없음을 증명함으로써, '매우 가깝다'를 '엄밀히 일치한다'로 끌어올립니다. 15개 원반의 경우에는 또 다른 홀수 환 논증이 사용되었습니다.
원래 배치 복원하기입니다. 마지막으로 원래 배치에서 반드시 적어도 하나의 원반이 바깥 원 경계에 접촉함을 증명합니다. 이는 모든 원반을 더 작은 반지름의 바깥 원에 밀어 넣는 것이 불가능함을 의미하며, 이로써 최적성 증명이 완성됩니다.
강조할 점은, nor가 한 라운드의 프롬프트를 줬다고 Astra가 쾅쾅쾅 전부 증명해버린 것은 아니라는 것입니다.
nor는 블로그 글에서 인간인 자신이 이 작업에서 기여한 부분으로 다음을 꼽았습니다:
문제의 실현 가능성 판단, 모델 유도, 결함투성이인 웹 사용자 인터페이스와의 사투, 형편없는 문구 참기, 사소한 문제 수정, 서술 반복 다듬기, 타당성 수동 검증, 그리고 Astra와 Opus 5.5를 사용한 전체 재확인.
One More Thing
재미있는 것은, nor가 결과를 올리자마자 AI로 같은 문제를 연구하던 동료들이 꽤 많다는 것을 알게 된 일입니다.
한 네티즌은 AI의 돌파구 덕분에 수학이 더 이해하기 쉬워졌다며, '수학 분야에 이렇게 뜨거운 탐구 분위기가 있는 줄 몰랐다'고 말했습니다.
수학 애호가들의 입장에서 보면, 이는 수학 2.0 시대의 새로운 풍경이라 할 수 있겠습니다.
원문 링크:
[1] https://nor-blog.pages.dev/posts/2026-10-11-circle-in-circle-packing-15-20/
[2]https://x.com/norxornor/status/2109078411251454017
— 끝 —